Програма факультативів OpenBITP-KAU

OpenBITP (Науково-освітній центр ІТФ ім. М.М. Боголюбова НАН України (BITP) та кафедра теоретичної та математичної фізики Київського академічного університету при BITP (TMP KAU)) пропонує для студентів першого та другого курсів факультативи з класичної механіки та лінійної алгебри. Матеріал курсів є розширеним до стандартних курсів в університетах та є вступом до теоретичної фізики. Курси планується читати у другій половині дня в режимі офлайн або онлайн в ІТФ ім. М.М. Боголюбова НАН України (дві пари в один день, два семестри). 

Для студентів другого та третього курсів OpenBITP пропонує факультатив “Квантова механіка та симетрії”, який планується прочитати в онлайн режимі, одна пара на тиждень, два семестри.  Пререквізитами для цього курсу є знання лінійної алгебри, а також, в деякому обсязі, класичної механіки (про гамільтонову механіку буде невелике нагадування на початку курсу). 

Заняття планується розпочати на початку жовтня. Студентам, які успішно пройшли навчання за програмою факультативів, буде виданий сертифікат  від TMP KAU для кожного курсу окремо. Якщо бажаєте взяти участь у факультативах, то зареєструйтесь за цим лінком. Дедлайн реєстрації 23 вересня.

І. Факультативний курс “Класична механіка”

Викладач: Микола Семенякін (OpenBITP)

(64 год -- 1 пара на тиждень, два семестри)

Класична механіка є фундаментом теоретичної фізики і була історично одним з перших її розділів. Весь час свого розвитку, вона слугувала джерелом нових способів дивитись на природу та, зокрема, потужних математичних формалізмів. В рамках курсу буде розглянуто основні задачі, знання яких є необхідною частиною теорфізичного світогляду та опановано ідеї, які гратимуть подальшу важливу роль у квантовій механіці та теорії поля.

Програма:

I. Ньютонівська механіка:

1). Закони Ньютона та їх інваріантність відносно перетворення Галілея. Приклади типів сил.

2). Закони збереження.

3). Деякі важливі задачі Ньютонівської механіки.

II. Лагранжева механіка:

4). Приклади варіаційних задач в оптиці та механіці. Рівняння Ньютона з варіаційного принципу.

5). Рівняння Ейлера-Лагранжа. Інваріантність відносно заміни системи координат, узагальнені координати.

6). Малі коливання та інші застосування Лагранжевої механіки.

7). Закони збереження та симетрії. Теорема Ньотер.

III. Гамільтонова механіка:

8). Узагальнені імпульси та перетворення Лежандра. Дужки Пуассона. Рівняння Гамільтона.

9). Канонічні перетворення. Рівняння Гамільтона-Якобі. Оптична аналогія.

10). Інтегровність за Ліувілем. Метод розділення змінних.

11). Приклади цілком інтегровних систем.

ІІ. Факультативний курс «Лінійна алгебра»

Викладач: Микола Іоргов (TMP KAU)

(64 год -- 1 пара на тиждень, два семестри)

Пропонується вступ до лінійної алгебри, яка є одним з базових розділів математичного апарату квантової механіки та квантової теорії поля.

Програма:

1). Векторні простори, базис та розмірність.

2). Лінійні відображення, матриці лінійних відображень.

3). Підпростори, прямі суми, фактор-простори, дуальні простори.

4). Власні вектори та власні значення лінійних операторів. 

5). Жорданова нормальна форма.

6). Функції лінійних операторів.

7). Евклідові простори. Скалярні добутки. Ортогональні оператори.

8). Білінійні та квадратичні форми. Їх класифікація.

9). Унітарні простори та унітарні оператори.

10). Самоспряжені оператори та їх діагоналізація.

11). Вступ до алгебри тензорів.

12). Вступ до проективної геометрії. 

ІІІ. Факультативний курс “Квантова механіка і симетрії”

Викладач: Павло Гавриленко (OpenBITP)

(64 год -- 1 пара на тиждень, два семестри)

В цьому курсі ми будемо вивчати квантову механіку в операторному підході, не фокусуючись на координатному представленні. Більшість точнорозв'язних задач квантової механіки пов'язані з наявністю якихось додаткових симетрій. В частині випадків ці симетрії дозволяють розділити координати і звести задачі до одновимірних, як наприклад у випадку руху в центральному полі. Та й навіть в одновимірних задачах точна розв'язність квантовомеханічного потенціалу зазвичай пов'язана з так званою суперсиметричною квантовою механікою.

 Програма:

1). Нагадування про гамільтонову механіку.

2). Перехід від класичних до квантових рівнянь Гамільтона (рівняння Гейзенберга), комутатор та дужка Пуассона.

3). Формальний розв'язок рівнянь Гейзенберга, різні представлення еволюції у квантовій механіці (Гейзенберга, Шредінгера, взаємодії), рівняння Шредінгера.

4). Координатне та імпульсне представлення, розв'язок задачі про еволюцію вільної частинки.

6). Квантовий гармонічний осцилятор, розв'язок через оператори народження та знищення. Перетворення Боголюбова.

7). Багатовимірний гармонічний осцилятор. Інтеграли руху в квантовій механіці. Додаткові інтеграли руху багатовимірного осцилятора та алгебра, яку вони утворюють.

8). Алгебра кутового моменту, її представлення.

9). Групи та алгебри Лі.

10). Складання моментів як тензорне множення представлень su(2).

11). Ферміонний осцилятор, суперсиметрична квантова механіка та її застосування до розв'язування квантовомеханічних потенціалів (метод факторизації).

12). Атом водню: розв'язок через розділення змінних та із застосуванням вектора Рунге-Ленца.

13). Частинка в магнітному полі, симетрії задачі та різні розділення змінних.

Додатковий матеріал для другого семестру

14). Розв'язування потенціалів в координатному представленні через зшивку асимптотик, прямокутні ями.

15). Гіпергеометрична функція, її асимптотики та виродження. Потенціали, що розв'язуються за її допомогою.

16). Розв'язок рівняння Шредінгера за допомогою інтегралу по траєкторіям. Приклади обчислення.

17). Системи з багатьма ступенями вільності, ланцюжок осциляторів та квазічастинки (фонони) в ньому.

18). Опис багаточастинкових систем, подібність між частинками та квазічастинками.

19). Приклади точнорозв'язних спінових ланцюжків.