Загальний опис теми:

Колективна динаміка у моделях зв’язаних осциляторів з різними формами взаємодії. (Розглядаються системи диференціальних рівнянь з параметрами, що описують мережі зв’язаних фазових осциляторів. Більш точно, такі мережі описуються за допомогою різних узагальнень моделі Крамото та моделі Вінфрі. Пропонується дослідження різних форм колективної динаміки у даних системах. Під колективною динамікою розуміємо різні режими взаємодії між зв’язаними елементами, котрі мають свою індивідуальну динаміку. Зокрема колективними режимами є: повна фазова або частотна синхронізація, кластеризація, протифазні режими, splay state, хаотична синхронізація, химерні стани, slow switching, хаотичні химери тощо. Важливим (особливо для застосувань у природознавстві) є дослідження біфуркаційних переходів між різними колективними режимами при зміні параметрів (необхідним є базове знання теорії біфуркацій). Результати досліджень можуть бути як суто аналітичними (теореми, леми), так і чисельними, представленими у вигляді фазових портретів, схематичних та біфуркаційних діаграм. У більшості випадків математичні моделі будуються для описання певних природних явищ, що також вимагає зворотної природничої інтерпретації аналітичних чи чисельних результатів.

Тип системи, основна мета та методи дослідження будуть вибиратись гнучко, в залежності від рівня знань та наявних навичок студента. Не зважаючи на те, що припускається дослідження рівнянь певного типу, індивідуальна динамка осциляторів, мережа взаємодії (граф), типи взаємодії між елементами, а також величина мережі будуть обговорюватись та вибиратись індивідуально. Можуть розглядатись як маловимірні, так і багато та нескінченновимірні динамічні моделі, в залежності від кінцевої мети досліджень. Можуть як використовуватись класичні моделі, так і пропонуватись нові, що є певними узагальненнями або ускладненнями відомих. Метою досліджень можуть бути як описання певних природничих явищ, так і отримання розв’язків з особливими математичними властивостями.

Припускається, що студент знає основи теорії диференціальних рівнянь, теорії стійкості, вміє програмувати та знає основи обчислювальних методів або готовий навчитись
використовувати готові математичні пакети для дослідження динамічних систем (Matlab, DsTool, Dynamics Solver, XPPAUT/AUTO, Content, etc.). Припускається вивчення теорії
біфуркацій (базовий рівень можна отримати з [1,2]) та теорії синхронізації [3]. 

З деякими результатами на дану тематику можна ознайомитись у дисертації [4].

1. Strogatz, S. - Nonlinear Dynamics and Chaos: with Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering, Addison-Wesley, 1994;

2. Glendinning, P. - Stability, Instability and Chaos: An Introduction to the Theory of Nonlinear Differential Equations, Cambridge University Press, 1994;

3. Pikovsky, A.; Rosenblum, M. & Kurths, J. - Synchronization. A Universal Concept in Nonlinear Sciences, Cambridge University Press, 2001;

4. О. Бурилко, Колективна динаміка та біфуркації у мережах зв’язаних фазових осциляторів, дисертація, 2020;)

Тема 1. Химерні стани у моделях зв’язаних осциляторів.

Тема 2. Біфуркації кластеризації у моделях типу Курамото.

Тема 3. Колективна динаміка у фазових моделях з адаптацією.

Тема 4. Синхронізація у симетричних осциляторних мережах.